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/ TeX 1995 July / TeX CD-ROM July 1995 (Disc 1)(Walnut Creek)(1995).ISO / macros / plain / contrib / samples / sum.tex < prev    next >
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Text File  |  1989-11-22  |  2.3 KB  |  55 lines
  1.  
  2. \magnification = \magstep1
  3. \font\ninerm=amr9
  4. \centerline{\bf An Elementary Sum\footnote*{\ninerm A nice little proof of
  5. a beautiful, well known theorem. This theorem was proved in 1736
  6. by Leonhard Euler (1707--1783).}}
  7. \vskip 15 pt
  8. \nopagenumbers
  9. \centerline{\sl We show that $\sum_{n=1}^\infty{1\over{n^2}}={{\pi^2}\over{6}}$
  10. ,}
  11. \centerline{\sl using only elementary trigonometry and algebra!}
  12. \vskip 15pt
  13.  
  14. \noindent
  15. For the moment fix $n>0$ and for $1\leq
  16. k \leq n$ set $\theta_k = {{k\pi}\over{(2n + 1)}}$.
  17. The first step is to use De~Moivre's
  18. formula to construct a polynomial whose roots are $\cot^2(\theta_k), k = 1, 
  19. \dots , n$.  Recall that
  20. $$\eqalign{\sin[(2n+1)\theta]&=\Im(e^{(2n+1)i\theta})\cr
  21.   &=\Im\{[\cos(\theta) + i \sin(\theta)]^{2n+1}\}\cr
  22.   &=\sum_{k=0}^n(-1)^k{{2n+1}\choose{2k+1}}\sin^{2k+1} (\theta)\cos^{2(n-k)}
  23. (\theta)\cr
  24.   &=\Bigl[\sum_{k=0}^n (-1)^k{{2n+1}\choose{2k+1}}\cot^{2(n-k)}(\theta)
  25. \Bigr]\Bigl[\sin^{2n+1}(\theta)\Bigr]\cr}$$
  26. Since $\sin({{k\pi}\over{2n+1}})\neq 0$ for $k=1,\dots,n$, the roots of
  27. $p(x)=\sum_{k=0}^n{{2n+1}\choose{2k+1}} (-1)^kx^{n-k}$ are exactly $\cot^2(
  28. \theta_k)$.
  29.  
  30. For any polynomial $p(x)=a_nx^n+a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$, the sum of the
  31. roots is equal to ${a_{n-1}}/{a_n}$.  Therefore,
  32. $$\sum_{k=1}^n \cot^2(\theta_k)={{{2n+1}\choose{3}}\over{{2n+1}\choose{1}}}=
  33. {{(2n+1)2n(2n-1)}\over{3\cdot2\cdot(2n+1)}}={{n(2n-1)}\over{3}}.$$
  34. $$\sum_{k=1}^n\csc^2(\theta_k)=\sum_{k=1}^n 1-\cot^2(\theta_k)=
  35. {{2(n+1)n}\over3}.
  36. $$
  37. Also on $[0,1]$, we know that $\tan(x) \geq x \geq \sin(x)$. Thus,
  38. $$\tan(\theta_k)\geq \theta_k \geq \sin(\theta_k)$$
  39. $$\cot^2(\theta_k)\leq {1\over{\theta_k^2}}\leq\csc^2(\theta_k)$$
  40. $${{n(2n-1)}\over{3}}\leq\sum_{k=1}^n{1\over{\theta_k^2}}
  41. \leq{{2n(n+1)}\over3}$$
  42. $${{\pi^2 n(2n-1)}\over{3(2n+1)^2}}\leq\sum_{k=1}^n{1\over{k^2}}\leq
  43. {{\pi^2 2n(n+1)}\over{3(2n+1)^2}}$$
  44. An application of the sandwich theorem completes the proof:
  45. $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n {1\over{k^2}}={{\pi^2}\over6}.$$
  46. \bye
  47. %
  48. % This example was typeset using TeX from Stanford University,
  49. % a QMS Lasergrafix Printer, and a driver from TAMU TUG.
  50. % For more information contact:
  51. %         Norman W. Naugle               Quality Micro Systems
  52. %         P.O. Box 2736                    1 Magnum Pass
  53. %         College Station, TX 77841          Mobile, Alabama 36689
  54. %         (409) 845-3104                    (205) 633-4300
  55.